Giải tích Ví dụ

$\int x \ln (1 + x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (1 + x)$ và $d v = x$ .

$\ln (1 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\ln (1 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (1 + x)$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 4

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Bước 5

Chia $x^{2}$ cho $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 5.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 5.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Bước 5.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Bước 5.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Bước 5.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Bước 5.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Bước 5.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Bước 5.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Bước 5.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Bước 5.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Bước 9

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 9.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 9.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 9.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 10

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (1 + x)$ .

$\frac{\ln (1 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Bước 11.2.2

Kết hợp $\frac{\ln (1 + x)}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

Bước 11.2.3

Để viết $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 11.2.4

Kết hợp $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 11.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 11.2.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Bước 11.2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.8

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 11.2.9.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Để viết $\ln (| x + 1 |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Bước 13.2

Kết hợp $\ln (| x + 1 |)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Bước 13.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Bước 13.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\ln (| x + 1 |)$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

Bước 13.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Bước 13.6

Nhân $- - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Bước 13.6.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

Bước 15

Viết lại $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$ ở dạng $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Cộng $\ln (1 + x) x^{2}$ và $\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1.1

Sắp xếp lại $\ln (x + 1)$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 16.1.2

Để viết $x^{2} \ln (x + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 16.1.3

Kết hợp $x^{2} \ln (x + 1)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 16.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2 - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 16.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} \ln (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Bước 17.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Bước 17.3

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 17.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{4} + C$

Bước 18

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} (2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)) + C$