Giải tích Ví dụ

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Bước 1

Viết $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Nhân với $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Bước 4.1.2

Tách các phân số.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Bước 4.1.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4.1.4

Chia $e^{- x}$ cho $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Bước 4.4

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Bước 4.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Bước 4.4.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Bước 4.5

Rút gọn $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 7

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 8

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Bước 9

Rút gọn.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$