Giải tích Ví dụ

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Bước 4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Bước 5

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Bước 7

Khai triển ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại ${(x^{2} + 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Bước 7.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Bước 7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Bước 7.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.8

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.10

Cộng $2$ và $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.12

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.13

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.15

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.16

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.17

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.19

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.20

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.21

Nhân $1$ với $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Bước 7.22

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Bước 7.23

Cộng $1$ và $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Bước 7.24

Sắp xếp lại $2$ và $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$