Giải tích Ví dụ

$(\sin (x)) e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\sin (x) (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- x}$ .

$\sin (x) (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3.3

Viết lại $- 1 e^{- x}$ ở dạng $- e^{- x}$ .

$\sin (x) (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\sin (x) (- e^{- x}) + e^{- x} \cos (x)$

Bước 5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \cos (x)$