Giải tích Ví dụ

$x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$

Bước 1

Viết $x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{2} d x + \int - 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int 3^{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 7

Tích phân của $3^{x}$ đối với $x$ là $\frac{3^{x}}{\ln (3)}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{3^{x}}{\ln (3)} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{3^{x}}{\ln (3)} + C) + \ln (| x |) + C$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x} + \ln (| x |) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} - 3^{x} + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{x} + \ln (| x |) + C$