Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \cot (- \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì cotang liên tục.

$\cot (lim_{x \to \frac{π}{3}} - \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Bước 3

Chuyển số hạng $\frac{2 \sqrt{3}}{π}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Bước 4

Di chuyển giới hạn vào bên trong hàm lượng giác vì cosecant liên tục.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

Bước 5

Tính giới hạn của $\frac{π}{4}$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{3}$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Bước 6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{3}$ cho $x$ .

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (- (2 \sqrt{3} \frac{1}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\cot (- (\frac{2}{3} \sqrt{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.3

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.4

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{3})$ là $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.5

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{π}{4})$

Bước 7.1.6.6.5

Tính số mũ.

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{π}{4})$

Bước 7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\cot (\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- π}{4})$

Bước 7.3

Cộng $- 2 \sqrt{3}$ và $2 \sqrt{3}$ .

$\cot (\frac{0}{3} + \frac{- π}{4})$

Bước 7.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Chia $0$ cho $3$ .

$\cot (0 + \frac{- π}{4})$

Bước 7.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cot (0 - \frac{π}{4})$

Bước 7.5

Trừ $\frac{π}{4}$ khỏi $0$ .

$\cot (- \frac{π}{4})$

Bước 7.6

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$\cot (\frac{7 π}{4})$

Bước 7.7

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cotang âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \cot (\frac{π}{4})$

Bước 7.8

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$