Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Bước 3

Tích phân của $e^{t}$ đối với $t$ là $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Bước 4

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Bước 5

Giả sử $u = 5 t$ . Sau đó $d u = 5 d t$ , nên $\frac{1}{5} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 5 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 5.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $5$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Bước 5.5

Nhân $5$ với $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Bước 6

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Bước 8.3

Nhân $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ với $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $e^{t}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Bước 10.2

Tính $e^{u}$ tại $5$ và tại $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Rút gọn.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Bước 10.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Bước 10.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Bước 10.3.4

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Bước 10.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Bước 10.3.6

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$e + e^{5} - 2$

Dạng thập phân:

$149.13144093 \dots$

Bước 12