Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Bước 1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Bước 3.2

Chia $e^{y}$ cho $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Bước 6

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính $\ln (| y |)$ tại $3$ và tại $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Bước 7.1.2

Tính $e^{y}$ tại $3$ và tại $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Bước 7.1.3

Rút gọn.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Bước 7.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Bước 7.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Bước 7.3.3

Chia $3$ cho $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Dạng thập phân:

$19.56447967 \dots$

Bước 9