Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 3 x + 2$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 3 x + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{u^{5}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Bước 7.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $u^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Bước 7.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Bước 7.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 5}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ ở dạng $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Bước 9.2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Bước 9.2.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Bước 9.2.4

Nhân $4$ với $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Bước 9.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Bước 9.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Bước 9.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Bước 9.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$