Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.1.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.1.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.1.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.1.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.1.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.1.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.3.9

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.1.3.10

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.3.11

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.3.12

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.4

Cộng $0$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$