Giải tích Ví dụ

$x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 1 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - x$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Bước 2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.10.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

Bước 2.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1))$

Bước 2.13

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

Bước 2.14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

Bước 2.15

Kết hợp $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $- 1$ .

$1 + 3 \frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3}$

Bước 2.16

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.17

Viết lại $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ ở dạng $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 2.18

Di chuyển ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

Bước 2.20

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.21

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.22

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.23

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.23.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 2.23.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.23.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.24

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$