Giải tích Ví dụ

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (y) + \frac{x}{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.3.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Để viết $\frac{y'}{y}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.1.2

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $y^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.2.1

Nhân $\frac{y'}{y}$ với $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.1.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

Bước 3

Vì $2021$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2021$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho tử bằng không.

$y y' - x y' + y = 0$

Bước 5.2

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y y' - x y' = - y$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $y y' - x y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $y y'$ .

$y' y - x y' = - y$

Bước 5.2.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - y$

Bước 5.2.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - y$

Bước 5.2.3

Chia mỗi số hạng trong $y' (y - x) = - y$ cho $y - x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (y - x) = - y$ cho $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

Bước 5.2.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$