Giải tích Ví dụ

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arcsec (x)$ và $g (x) = \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $arcsec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ và $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Bước 3.3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại $\cos^{2} (2 x)$ và $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Bước 3.4.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Bước 3.4.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Bước 3.4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Bước 3.4.5

Viết lại $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ ở dạng $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Bước 3.4.6

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Bước 3.4.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Sắp xếp lại $- 1$ và $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Bước 3.4.7.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Bước 3.4.7.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Bước 3.4.8

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Bước 3.4.8.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Bước 3.4.9

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Bước 3.4.10

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Bước 3.4.11

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{2}{i}$ với liên hợp của $i$ để biến mẫu số thành số thực.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.1

Kết hợp.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.12.2.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12.2.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Bước 3.4.12.2.5

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Bước 3.4.13

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Bước 3.4.14

Viết lại $- 1 \cdot (2 i)$ ở dạng $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Bước 3.4.15

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Bước 3.4.16

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$