Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{3}{2 x - 5} - 4 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{3}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x - 5$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - 4 d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - 4 d x$

Bước 6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$3 \int \frac{1}{2 u} d u + \int - 4 d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int - 4 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - 4 d x$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - 4 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) - 4 x + C$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{3}{2} \ln (| u |) - 4 x + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x - 5$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$