Giải tích Ví dụ

$\sqrt{3 x^{3}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $3 x^{3}$ ở dạng $x^{2} \cdot (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại $3$ và $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

Bước 1.1.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 x}$ ở dạng ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Đưa $3$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Bước 7.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Bước 7.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Bước 8

Vì $3^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Bước 10

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 11

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 13

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Bước 13.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Bước 14

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 15

Kết hợp $3^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 16

Nhân $3^{\frac{1}{2}}$ với $3$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Di chuyển $3$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16.2

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 16.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$