Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Bước 1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Bước 2.5

Cộng $3$ và $1$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $4$ và tại $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.6

Nhân $2$ với $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 5.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 5.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Bước 5.2.10

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Bước 5.2.11

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Bước 5.2.12

Nhân $3$ với $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Bước 5.2.13

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{42}{6}$

Bước 5.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.14.1

Đưa $6$ ra ngoài $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Bước 5.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.14.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Bước 5.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Bước 5.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1}$

Bước 5.2.14.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7$

Bước 6