Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = 4 x + 5$ và $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Bước 2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Bước 3

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Bước 4

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Bước 5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Bước 5.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $(4 x + 5) (- e^{- x})$ tại $2$ và tại $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Bước 9.2

Tính $e^{u}$ tại $- 2$ và tại $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nhân $4$ với $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.2

Cộng $8$ và $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.4

Nhân $- 1$ với $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.5

Nhân $4$ với $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.6

Cộng $0$ và $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.7

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.10

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.11

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Bước 9.3.12

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Bước 9.3.13

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Bước 10.1.2

Kết hợp $- 13$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Bước 10.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Bước 10.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Bước 10.1.5

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Bước 10.2.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Bước 10.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Bước 10.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Bước 10.4

Trừ $4$ khỏi $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Bước 10.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Bước 10.6

Cộng $5$ và $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Dạng thập phân:

$6.69930018 \dots$

Bước 12