Giải tích Ví dụ

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Bước 3.3

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 5.2

Nhân $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ với $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Bước 7

Giả sử $u = - 2 x$ . Sau đó $d u = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 7.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Bước 8.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Bước 11.2

Nhân $2$ với $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 12

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Viết lại $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ ở dạng $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.2.2

Kết hợp $e^{- 2 x}$ và $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Bước 13.2.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 15.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ vào tử số.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 15.2.3

Viết lại biểu thức.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Bước 15.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ vào tử số.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Bước 15.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Bước 15.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Bước 15.3.4

Viết lại biểu thức.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.5

Kết hợp $- e^{- 2 x} x$ và $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ bằng mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.5.1

Di chuyển $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.5.2

Để viết $- x e^{- 2 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.5.3

Kết hợp $- x e^{- 2 x}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1.1

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Bước 15.6.1.2

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Bước 15.6.1.3

Đưa $e^{- 2 x}$ ra ngoài $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Bước 15.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Bước 15.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Bước 15.8

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Bước 15.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Bước 15.10

Viết lại $- (2 x + 1)$ ở dạng $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Bước 15.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Bước 16

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$