Giải tích Ví dụ

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của $k$ bằng $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Bước 2

Tính $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài tổng.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Bước 2.2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Bước 2.3

Rút gọn dạng đã khai triển.

$12$

Bước 3

Tính $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.4

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.6

Nhân $1$ với $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.7

Cộng $- 2$ và $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.9

Nhân $2$ với $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.10

Nhân $- 1$ với $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.11

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.12

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.13

Nhân $2$ với $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Bước 3.2.14

Nhân $1$ với $8$ .

$- 4 + 8$

Bước 3.2.15

Cộng $- 4$ và $8$ .

$4$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

$12 - 4$

Bước 5

Trừ $4$ khỏi $12$ .

$8$