Giải tích Ví dụ

\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Bước 1

Tách tổng để làm cho giá trị bắt đầu của

k

$k$ bằng

1

$1$ .

\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Bước 2

Tính

\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa

2

$2$ ra ngoài tổng.

(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Bước 2.2

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Bước 2.3

Rút gọn dạng đã khai triển.

12

$12$

12

$12$

Bước 3

Tính

\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Khai triển chuỗi số cho mỗi giá trị của

k

$k$ .

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nâng

- 1

$- 1$ lên lũy thừa

1

$1$ .

- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.2

Nhân

2

$2$ với

1

$1$ .

- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.3

Nhân

- 1

$- 1$ với

2

$2$ .

- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.4

Nâng

- 1

$- 1$ lên lũy thừa

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.5

Nhân

2

$2$ với

2

$2$ .

- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.6

Nhân

1

$1$ với

4

$4$ .

- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.7

Cộng

- 2

$- 2$ và

4

$4$ .

2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.8

Nâng

- 1

$- 1$ lên lũy thừa

3

$3$ .

2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.9

Nhân

2

$2$ với

3

$3$ .

2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.10

Nhân

- 1

$- 1$ với

6

$6$ .

2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.11

Trừ

6

$6$ khỏi

2

$2$ .

- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.12

Nâng

- 1

$- 1$ lên lũy thừa

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 3.2.13

Nhân

2

$2$ với

4

$4$ .

- 4 + 1 \cdot 8

$- 4 + 1 \cdot 8$

Bước 3.2.14

Nhân

1

$1$ với

8

$8$ .

- 4 + 8

$- 4 + 8$

Bước 3.2.15

Cộng

- 4

$- 4$ và

8

$8$ .

4

$4$

4

$4$

4

$4$

Bước 4

Thay thế các phép tổng bằng các giá trị tìm được.

12 - 4

$12 - 4$

Bước 5

Trừ

4

$4$ khỏi

12

$12$ .

8

$8$