Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 5.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 8.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + x^{2} |) + C$