Giải tích Ví dụ

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ , nên $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 e^{3 x^{2}}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Bước 2.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Bước 2.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Bước 2.1.3.3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Bước 2.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

Bước 2.1.3.5

Nhân $2$ với $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

Bước 2.1.3.6

Nhân $6$ với $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Trừ $18 e^{3 x^{2}} x$ khỏi $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

Bước 2.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ với $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

Bước 3.3

Di chuyển $18$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{18}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{18}$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{18}$ và $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Bước 7.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Bước 7.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 7.2.3

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 7.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Bước 7.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $- 2$ với $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 10$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$