Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Bước 4

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Bước 5

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Khai triển $(1 - x) (1 + x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Bước 5.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Bước 5.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Bước 5.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Bước 5.1.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Bước 5.1.2.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Bước 5.1.2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Bước 5.1.2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Bước 5.1.2.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Bước 5.1.2.3

Cộng $1$ và $0$ .

$1 - x^{2}$

Bước 5.1.3

Sắp xếp lại $1$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Bước 5.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Bước 5.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 5.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Bước 5.4.2.1.2

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Bước 5.4.2.2

Viết lại $- 1 \cdot 0$ ở dạng $- 0$ .

$d = - 0$

Bước 5.4.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$d = 0$

Bước 5.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Bước 5.5.2.1.3

Chia $0$ cho $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Bước 5.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 1 + 0$

Bước 5.5.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$e = 1$

Bước 5.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Bước 6

Giả sử $u = x + 0$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u = x + 0$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Bước 6.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 0$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Bước 6.1.4

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 6.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Bước 7.2

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Bước 10

Cộng $x$ và $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$