Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (2 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển ${u_{2}}^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{- 2}$ đối với $u_{2}$ là $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tách các phân số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

Bước 9.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (2 x)}$ sang $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

Bước 9.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

Bước 9.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$