Giải tích Ví dụ

$- x y + x^{3} + 5 = - y^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (- x y + x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x y + x^{3} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.2.5

Nhân $y$ với $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (x y' + y) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.3.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$- (x y' + y) + 3 x^{2} + 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (x y') - y + 3 x^{2} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- x y' - y + 3 x^{2}$ và $0$ .

$- x y' - y + 3 x^{2}$

Bước 2.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} - x y' - y$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 y y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$3 x^{2} - x y' - y = - 2 y y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cộng $2 y y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y' = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x y' - y + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Bước 5.2.2

Cộng $y$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Bước 5.3

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y' + 2 y y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Bước 5.3.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Bước 5.3.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ cho $- x + 2 y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ cho $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3.5

Viết lại $- (3 x^{2} - y)$ ở dạng $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Bước 5.4.3.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Bước 5.4.3.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Bước 5.4.3.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Bước 5.4.3.9

Viết lại $- (x - 2 y)$ ở dạng $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Bước 5.4.3.10

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Bước 5.4.3.11

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$