Giải tích Ví dụ

$\int {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{1}{2}} d y$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{3} y$ . Sau đó $d u = \frac{1}{3} d y$ , nên $3 d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{3} y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{3} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} y]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} y$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{3}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u$

Bước 2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $3$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 5.2.3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{1}{3} y$ .

$2 {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{3}{2}} + C$