Giải tích Ví dụ

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 - 3 x^{5}$ . Sau đó $d u = - 15 x^{4} d x$ , nên $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 - 3 x^{5}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 - 3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 3 x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{5}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$0 - 3 (5 x^{4})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $5$ với $- 3$ .

$0 - 15 x^{4}$

Bước 2.1.4

Trừ $15 x^{4}$ khỏi $0$ .

$- 15 x^{4}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u^{7}$ và $\frac{1}{15}$ .

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{15}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{15}$ ra khỏi tích phân.

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $- 6$ .

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ ở dạng $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{8}$ với $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $8$ với $5$ .

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

Bước 9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $40$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

Bước 9.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $40$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Bước 9.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Bước 9.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - 3 x^{5}$ .

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$