Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} + 3}}{2 x + 5}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.2.2

Chia $16$ cho $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.4

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.5

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.6

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.7

Tính giới hạn của $16$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{16 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 2.8

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{5}{x}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $2$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 3 \cdot 0}}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{- \sqrt{16 + 0}}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 6.1.2

Cộng $16$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{16}}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 6.1.3

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{4^{2}}}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 6.1.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{- 1 \cdot 4}{2 + 5 \cdot 0}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $5$ với $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{2 + 0}$

Bước 6.2.2

Cộng $2$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 4}{2}$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{- 4}{2}$

Bước 6.4

Chia $- 4$ cho $2$ .

$- 2$