Giải tích Ví dụ

$\int 5 x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Bước 1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 - 3 x^{4}$ . Sau đó $d u = - 12 x^{3} d x$ , nên $- \frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 - 3 x^{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 - 3 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{4}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 3 x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{4}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 - 3 (4 x^{3})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $4$ với $- 3$ .

$0 - 12 x^{3}$

Bước 2.1.4

Trừ $12 x^{3}$ khỏi $0$ .

$- 12 x^{3}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 12} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Bước 3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{12}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{12} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{12} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{12} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{1}{12} \int e^{u} d u)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $- 5$ .

$\frac{- 5}{12} \int e^{u} d u$

Bước 7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5}{12} \int e^{u} d u$

Bước 8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{5}{12} (e^{u} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$- \frac{5}{12} e^{u} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - 3 x^{4}$ .

$- \frac{5}{12} e^{2 - 3 x^{4}} + C$