Giải tích Ví dụ

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Bước 3

Đạo hàm của $v'$ đối với $r$ là $v''$ .

$v''$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Bước 4.1.2

Kết hợp $\frac{π \cdot 4}{3}$ và $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Bước 4.1.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Bước 4.2

Vì $\frac{4 π}{3}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{4 π r^{3}}{3}$ đối với $r$ là $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

Bước 4.4

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp $3$ và $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

Bước 4.4.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

Bước 4.4.3

Kết hợp $\frac{12 π}{3}$ và $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

Bước 4.4.4

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $12 π r^{2}$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

Bước 4.4.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

Bước 4.4.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

Bước 4.4.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

Bước 4.4.4.2.4

Chia $4 π r^{2}$ cho $1$ .

$4 π r^{2}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$v'' = 4 π r^{2}$

Bước 6

Thay thế $v'$ bằng $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$