Giải tích Ví dụ

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 4 x^{2} - 16$ và $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 16] - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.4

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.5

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x + 0) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Cộng $8 x$ và $0$ .

$\frac{(x - 2) (8 x) - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.6.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x - 2$ .

$\frac{8 \cdot (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.9

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.2.10.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{8 (x - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(8 x + 8 \cdot - 2) x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2} - 16)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{8 x \cdot x + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{8 (x \cdot x) + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 \cdot - 2 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4.1.2

Nhân $8$ với $- 2$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - (4 x^{2}) - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} - - 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4.1.4

Nhân $- 1$ với $- 16$ .

$\frac{8 x^{2} - 16 x - 4 x^{2} + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.4.2

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} - 16 x + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 16 x + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $- 16 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 4 x) + 16}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{2} + 4 (- 4 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 (x^{2} - 4 x) + 4 \cdot 4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Bước 1.3.5.2.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.5.2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung ${(x - 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Bước 1.3.6.2

Chia $4$ cho $1$ .

$f' (x) = 4$

Bước 2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 0$