Giải tích Ví dụ

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Bước 4

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Bước 6

Khai triển $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.5

Rút gọn.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.7

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.9

Nhân $- 7$ với $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Bước 6.10

Di chuyển $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Bước 8

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Bước 10

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Bước 13.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$