Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(- 2, 2)$

Bước 1

Tìm các điểm tới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2}{x^{4} - 16}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

Bước 1.1.1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4} - 16}$ ở dạng ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4} - 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4} - 16$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Bước 1.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} - 16$ .

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Bước 1.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

Bước 1.1.1.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

Bước 1.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

Bước 1.1.1.3.4

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

Bước 1.1.1.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.3.5.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

Bước 1.1.1.3.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

Bước 1.1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Bước 1.1.1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.5.1

Kết hợp $- 8$ và $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Bước 1.1.1.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

Bước 1.1.1.5.3

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 1.1.1.5.4

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 1.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 1.2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$8 x^{3} = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x^{3} = 0$ cho $8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $8 x^{3} = 0$ cho $8$ .

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Bước 1.2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

Bước 1.2.3.1.2.1.2

Chia $x^{3}$ cho $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{8}$

Bước 1.2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $8$ .

$x^{3} = 0$

Bước 1.2.3.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 1.2.3.3

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 1.2.3.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 1.3

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đặt mẫu số trong $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.1

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2}$ và $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.4.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.4.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1.4.2.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.4.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.1.6

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.2

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.3

Đặt ${(x^{2} + 4)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Đặt ${(x^{2} + 4)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.3.2

Giải ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.1

Đặt $x^{2} + 4$ bằng $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Bước 1.3.2.3.2.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.2.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 4$

Bước 1.3.2.3.2.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Bước 1.3.2.3.2.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.2.3.1

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Bước 1.3.2.3.2.2.3.2

Viết lại $\sqrt{- 1 (4)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Bước 1.3.2.3.2.2.3.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Bước 1.3.2.3.2.2.3.4

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Bước 1.3.2.3.2.2.3.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm i \cdot 2$

Bước 1.3.2.3.2.2.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$x = \pm 2 i$

Bước 1.3.2.3.2.2.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.2.2.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 2 i$

Bước 1.3.2.3.2.2.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 2 i$

Bước 1.3.2.3.2.2.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 2 i, - 2 i$

Bước 1.3.2.4

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.4.1

Đặt ${(x + 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.4.2

Giải ${(x + 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.4.2.1

Đặt $x + 2$ bằng $0$ .

$x + 2 = 0$

Bước 1.3.2.4.2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 2$

Bước 1.3.2.5

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.5.1

Đặt ${(x - 2)}^{2}$ bằng với $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Bước 1.3.2.5.2

Giải ${(x - 2)}^{2} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.5.2.1

Đặt $x - 2$ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.3.2.5.2.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.3.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ đúng.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Bước 1.3.3

Phương trình không xác định tại mẫu số bằng $0$ , đối số của một căn bậc hai nhỏ hơn $0$ , hoặc đối số của một logarit nhỏ hơn hoặc bằng $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Bước 1.4

Tính $\frac{2}{x^{4} - 16}$ tại các giá trị $x$ có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Tính giá trị tại $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

Bước 1.4.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{2}{0 - 16}$

Bước 1.4.1.2.1.2

Trừ $16$ khỏi $0$ .

$\frac{2}{- 16}$

Bước 1.4.1.2.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $- 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 16}$

Bước 1.4.1.2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1.2.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Bước 1.4.1.2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

Bước 1.4.1.2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{- 8}$

Bước 1.4.1.2.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{8}$

Bước 1.4.2

Tính giá trị tại $x = - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Thay $- 2$ bằng $x$ .

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

Bước 1.4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Bước 1.4.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$\frac{2}{0}$

Bước 1.4.2.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.3

Tính giá trị tại $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Thay $2$ bằng $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

Bước 1.4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.2.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{2}{16 - 16}$

Bước 1.4.3.2.2

Trừ $16$ khỏi $16$ .

$\frac{2}{0}$

Bước 1.4.3.2.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

Bước 1.4.4

Liệt kê tất cả các điểm.

$(0, - \frac{1}{8})$

Bước 2

Dùng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất để xác định các điểm cực đại hoặc cực tiểu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 2.2

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 4$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 4$ trong biểu thức.

$f' (- 4) = - \frac{8 {(- 4)}^{3}}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 2.2.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{({(- 4)}^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 2.2.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{{(256 - 16)}^{2}}$

Bước 2.2.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $256$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{240^{2}}$

Bước 2.2.2.2.3

Nâng $240$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 4) = - \frac{8 \cdot - 64}{57600}$

Bước 2.2.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.1

Nhân $8$ với $- 64$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 512}{57600}$

Bước 2.2.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 512$ và $57600$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.1

Đưa $256$ ra ngoài $- 512$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 (- 2)}{57600}$

Bước 2.2.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.3.2.2.1

Đưa $256$ ra ngoài $57600$ .

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Bước 2.2.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f' (- 4) = - \frac{256 \cdot - 2}{256 \cdot 225}$

Bước 2.2.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f' (- 4) = - \frac{- 2}{225}$

Bước 2.2.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (- 4) = \frac{2}{225}$

Bước 2.2.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{2}{225}$ .

$\frac{2}{225}$

Bước 2.3

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{8 {(1)}^{3}}{{({(1)}^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 2.3.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1^{4} - 16)}^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(1 - 16)}^{2}}$

Bước 2.3.2.2.2

Trừ $16$ khỏi $1$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{{(- 15)}^{2}}$

Bước 2.3.2.2.3

Nâng $- 15$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (1) = - \frac{8 \cdot 1}{225}$

Bước 2.3.2.3

Nhân $8$ với $1$ .

$f' (1) = - \frac{8}{225}$

Bước 2.3.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{8}{225}$ .

$- \frac{8}{225}$

Bước 2.4

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực đại địa phương.

$x = 0$ là cực đại địa phương

Bước 3

So sánh các giá trị $f (x)$ tìm được với mỗi giá trị của $x$ để xác định cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối trên khoảng đã cho. Cực đại sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ cao nhất và cực tiểu sẽ xảy ra tại giá trị $f (x)$ thấp nhất.

Cực đại tuyệt đối: $(0, - \frac{1}{8})$

Không có cực tiểu tuyệt đối

Bước 4