Giải tích Ví dụ

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{\frac{3}{2}}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.7

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.8

Kết hợp $2$ và $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.9

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.10

Đưa $2$ ra ngoài $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.11.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.2.11.4

Chia $3 t^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 9$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 9 t$ đối với $t$ là $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 9$ với $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $6$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $6$ đối với $t$ là $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ và $0$ .

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.9

Kết hợp $3$ và $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.2.10

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 9$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $S (t)$ đối với $t$ là $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$