Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Sau đó $d u = (2 x + 2) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2 x + 2$ và $0$ .

$2 x + 2$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 1$

Bước 1.5.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Bước 1.5.3

Cộng $8$ và $1$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.4

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.5

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1)$

Bước 6.2.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2)$

Bước 6.2.8

Trừ $2$ khỏi $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Bước 6.2.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2}$

Bước 6.2.10

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Bước 6.2.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Bước 6.2.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Bước 6.2.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1}$

Bước 6.2.10.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2$

Bước 7