Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 1.4.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 1.4.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x - 2 \ln (x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 1.4.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 1.4.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Bước 1.4.4.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Bước 1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Bước 1.6

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - \ln (x^{2})$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.2.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \ln (x^{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.2.1

Nhân với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.2.2.4

Chia $x$ cho $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Bước 2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Bước 2.10

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 2.10.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Bước 2.10.2.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Bước 2.10.2.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Bước 2.11

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.11.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 2.11.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Bước 2.11.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Bước 2.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Bước 2.12.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1.1

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Bước 2.12.2.1.2

Nhân $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Bước 2.12.2.1.2.2

Rút gọn $3 \ln (x^{2})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Bước 2.12.2.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.2.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Bước 2.12.2.1.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Bước 2.12.2.2

Trừ $3$ khỏi $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Bước 2.12.3

Viết lại $- 5$ ở dạng $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Bước 2.12.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Bước 2.12.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Bước 2.12.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Bước 4.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Bước 4.1.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.2.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.4.2

Đưa $x$ ra ngoài $x - 2 \ln (x) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.4.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Bước 4.1.4.4.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Bước 4.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 4.1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Bước 4.1.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Bước 4.1.6

Rút gọn $- 2 \ln (x)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 4.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Bước 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Bước 5.2

Cho tử bằng không.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Bước 5.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Bước 5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x^{2}) = - 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \ln (x^{2}) = - 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $\ln (x^{2})$ cho $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Bước 5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Chia $- 1$ cho $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Bước 5.3.3

Để giải tìm $x$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Bước 5.3.4

Viết lại $\ln (x^{2}) = 1$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Bước 5.3.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Bước 5.3.5.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Bước 5.3.5.3

Rút gọn.

$x = \pm \sqrt{e}$

Bước 5.3.5.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{e}$

Bước 5.3.5.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{e}$

Bước 5.3.5.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Bước 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Bước 6.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \sqrt[3]{0}$

Bước 6.2.2

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 6.3

Đặt đối số trong $\ln (x^{2})$ nhỏ hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{2} \leq 0$

Bước 6.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Bước 6.4.2

Rút gọn phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Rút gọn $\sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq | 0 |$

Bước 6.4.2.2.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $0$ là $0$ .

$| x | \leq 0$

Bước 6.4.3

Viết $| x | \leq 0$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 6.4.3.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq 0$

Bước 6.4.3.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 6.4.3.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq 0$

Bước 6.4.3.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Bước 6.4.4

Tìm phần giao của $x \leq 0$ và $x \geq 0$ .

$x = 0$

Bước 6.4.5

Giải $- x \leq 0$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq 0$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Bước 6.4.5.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Bước 6.4.5.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Bước 6.4.5.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$x \geq 0$

Bước 6.4.5.2

Tìm phần giao của $x \geq 0$ và $x < 0$ .

Không có đáp án

Bước 6.4.6

Tìm hợp của các đáp án.

$x = 0$

Bước 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = \sqrt{e}$

Bước 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \sqrt{e}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Bước 9

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Viết lại ${\sqrt{e}}^{6}$ ở dạng $e^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e}$ ở dạng $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $3$ ra khỏi số mũ.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.1.6

Trừ $3$ khỏi $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Bước 9.2

Viết lại ${\sqrt{e}}^{4}$ ở dạng $e^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e}$ ở dạng $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Bước 9.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Bước 9.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Bước 9.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 9.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Bước 9.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Bước 9.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Bước 9.2.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Bước 10

$x = \sqrt{e}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \sqrt{e}$ là cực đại địa phương

Bước 11

Tìm giá trị y khi $x = \sqrt{e}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế biến $x$ bằng $\sqrt{e}$ trong biểu thức.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Viết lại ${\sqrt{e}}^{2}$ ở dạng $e$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{e}$ ở dạng $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 11.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 11.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Bước 11.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Bước 11.2.1.5

Rút gọn.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Bước 11.2.2

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Bước 12

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ là một cực đại địa phuơng

Bước 13