Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 4

Giả sử $x = \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\cos (t)$ dương.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Bước 5.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Bước 6

Đưa $\sin^{2} (t)$ ra ngoài.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Bước 7

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Bước 8

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 8.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 12

Rút gọn.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$