Giải tích Ví dụ

$\int_{- 3}^{5} [2 y - (y^{2} - 15)] d y$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 3}^{5} 2 y - (y^{2} - 15) d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 3}^{5} 2 y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{- 3}^{5} y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

Bước 6

Nhân $- (y^{2} - 15)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} - - 15 d y$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $- 15$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} + 15 d y$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Bước 11

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Bước 13

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Tính $\frac{y^{2}}{2}$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Bước 13.2

Tính $\frac{y^{3}}{3}$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

Bước 13.3

Tính $15 y$ tại $5$ và tại $- 3$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.2

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{25 - 9}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.4

Trừ $9$ khỏi $25$ .

$2 (\frac{16}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{8}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.5.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$2 \cdot 8 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.6

Nhân $2$ với $8$ .

$16 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.7

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.8

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 27$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.9.2.4

Chia $- 9$ cho $1$ .

$16 - (\frac{125}{3} - - 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.10

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.11

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.12

Kết hợp $9$ và $\frac{3}{3}$ .

$16 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$16 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.14.1

Nhân $9$ với $3$ .

$16 - \frac{125 + 27}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.14.2

Cộng $125$ và $27$ .

$16 - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.15

Để viết $16$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.16

Kết hợp $16$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{16 \cdot 3 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.18.1

Nhân $16$ với $3$ .

$\frac{48 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.18.2

Trừ $152$ khỏi $48$ .

$\frac{- 104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.20

Nhân $15$ với $5$ .

$- \frac{104}{3} + 75 - 15 \cdot - 3$

Bước 13.4.21

Nhân $- 15$ với $- 3$ .

$- \frac{104}{3} + 75 + 45$

Bước 13.4.22

Cộng $75$ và $45$ .

$- \frac{104}{3} + 120$

Bước 13.4.23

Để viết $120$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 13.4.24

Kết hợp $120$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{104}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}$

Bước 13.4.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 104 + 120 \cdot 3}{3}$

Bước 13.4.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.26.1

Nhân $120$ với $3$ .

$\frac{- 104 + 360}{3}$

Bước 13.4.26.2

Cộng $- 104$ và $360$ .

$\frac{256}{3}$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{256}{3}$

Dạng thập phân:

$85.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$85 \frac{1}{3}$

Bước 15