Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x + 3$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 6.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 8.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

Bước 11

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Bước 12.2

Di chuyển $x^{5}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Bước 12.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Bước 12.3.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

Bước 13

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $x^{- 4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Bước 14.1.2

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Bước 14.2

Rút gọn.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Bước 14.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Bước 14.3.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Bước 14.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

Bước 14.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 3$ .

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$