Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{x - 1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ ở dạng ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Bước 1.3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Bước 1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 7.2

Kết hợp ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 10

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Bước 11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Bước 11.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$