Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 x^{3}}{2 x + 3} d x$

Bước 1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int \frac{x^{3}}{2 x + 3} d x$

Bước 2

Chia $x^{3}$ cho $2 x + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$2 x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

					$\frac{x^{2}}{2}$
	$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Bước 2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Bước 2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$

Bước 2.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$\frac{x^{2}}{2}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Bước 2.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- \frac{3 x^{2}}{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$

Bước 2.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	-	$\frac{9 x}{4}$

Bước 2.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{9 x}{4}$

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$

Bước 2.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$

Bước 2.11

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Bước 2.12

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $\frac{9 x}{4}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 x$ .

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$

Bước 2.13

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$\frac{27}{8}$

Bước 2.14

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $\frac{9 x}{4} + \frac{27}{8}$

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$

Bước 2.15

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{3 x}{4}$	+	$\frac{9}{8}$
$2 x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$\frac{3 x^{2}}{2}$
					-	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$0 x$
					+	$\frac{3 x^{2}}{2}$	+	$\frac{9 x}{4}$
							+	$\frac{9 x}{4}$	+	$0$
							-	$\frac{9 x}{4}$	-	$\frac{27}{8}$
									-	$\frac{27}{8}$

Bước 2.16

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$4 \int \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{8} - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$4 (\int \frac{x^{2}}{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int - \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int \frac{3 x}{4} d x + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 8

Vì $\frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{3}{4}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\frac{3}{4} \int x d x) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{9}{8} d x + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9}{8} x + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 12

Kết hợp $\frac{9}{8}$ và $x$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C + \int - \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 13

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \int \frac{27}{8 (2 x + 3)} d x)$

Bước 14

Vì $\frac{27}{8}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{27}{8}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - (\frac{27}{8} \int \frac{1}{2 x + 3} d x))$

Bước 15

Giả sử $u = 2 x + 3$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Hãy đặt $u = 2 x + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Bước 15.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 15.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 15.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 15.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 15.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 15.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 15.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Bước 16.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Bước 17

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Bước 18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{27}{8}$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{2 \cdot 8} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 18.2

Nhân $2$ với $8$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 19

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{1}{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{3}{4} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{9 x}{8} + C - \frac{27}{16} (\ln (| u |) + C))$

Bước 20

Rút gọn.

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| u |)}{16}) + C$

Bước 21

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x + 3$ .

$4 (\frac{x^{3}}{6} - \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Để viết $\frac{x^{3}}{6}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}) + C$

Bước 22.2

Để viết $- \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3}}{6} \cdot \frac{8}{8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 22.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $48$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.3.1

Nhân $\frac{x^{3}}{6}$ với $\frac{8}{8}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{6 \cdot 8} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 22.3.2

Nhân $6$ với $8$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Bước 22.3.3

Nhân $\frac{27 \ln (| 2 x + 3 |)}{16}$ với $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{16 \cdot 3}) + C$

Bước 22.3.4

Nhân $16$ với $3$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8}{48} - \frac{27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Bước 22.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{x^{3} \cdot 8 - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Bước 22.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.5.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 \cdot x^{3} - 27 \ln (| 2 x + 3 |) \cdot 3}{48}) + C$

Bước 22.5.2

Nhân $3$ với $- 27$ .

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{8} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48}) + C$

Bước 22.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (- \frac{3 x^{2}}{8}) + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.7.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{3 x^{2}}{8}$ vào tử số.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{8} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 (2)} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{- 3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{8} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 (2)} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + 4 \frac{9 x}{4 \cdot 2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{48} + C$

Bước 22.7.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.7.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $48$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 (12)} + C$

Bước 22.7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + 4 \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{4 \cdot 12} + C$

Bước 22.7.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Bước 22.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{9 x}{2} + \frac{8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)}{12} + C$

Bước 23

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{3}{2} x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{1}{12} (8 x^{3} - 81 \ln (| 2 x + 3 |)) + C$