Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2^{x} + 2 e^{x}}$ ở dạng ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2^{x} + 2 e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2^{x} + 2 e^{x}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 7

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 7.2.2

Di chuyển ${(2^{x} + 2 e^{x})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2^{x} + 2 e^{x}]$

Bước 7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2^{x} + 2 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}])$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}} (2^{x} \ln (2) + 2 e^{x})$ .

$(2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}) \frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 11.2

Nhân $2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}$ với $\frac{1}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2^{x} \ln (2) + 2 e^{x}}{2 {(2^{x} + 2 e^{x})}^{\frac{1}{2}}}$