Giải tích Ví dụ

${(\frac{1}{x})}^{x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(\frac{1}{x})}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 6

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 10.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12

Nhân $x^{2}$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển $x^{- 2}$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.3

Cộng $- 2$ và $2$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 13

Rút gọn $x^{0} \cdot - 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 14

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

Bước 15

Nhân $\ln (\frac{1}{x})$ với $1$ .

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Bước 16.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.2.1

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Bước 16.2.2

Viết lại $- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ ở dạng $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ .

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

Bước 16.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$