Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 5 - 7 x$ . Sau đó $d u = - 7 d x$ , nên $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 5 - 7 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 7 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Bước 4.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Bước 4.1.3.3

Nhân $- 7$ với $1$ .

$0 - 7$

Bước 4.1.4

Trừ $7$ khỏi $0$ .

$- 7$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Bước 5.2

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Bước 5.3

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Bước 7

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 9.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 9.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 9.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 9.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Viết lại $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ ở dạng $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Bước 11.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Bước 11.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 11.2.4

Nhân $\frac{3}{7}$ với $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 11.2.5

Nhân $\frac{3}{7}$ với $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Bước 11.2.6

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Bước 11.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $21$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Bước 11.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Bước 11.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Bước 11.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$