Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Bước 1

Viết $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân với $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

Bước 4.2

Tách các phân số.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Bước 4.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ sang $\csc^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

Bước 4.4

Chia $x$ cho $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

Bước 7.2

Nhân $\int \cot (x) d x$ với $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

Bước 8

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Bước 9

Viết lại $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ ở dạng $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$