Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Viết lại $8$ ở dạng $9$ cộng $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Bước 2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Bước 2.3

Viết lại đa thức này.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Bước 3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 4.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Bước 7

Viết lại $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ ở dạng $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Bước 9.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Bước 9.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$