Giải tích Ví dụ

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Bước 1.2

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 \arctan (\frac{t}{2})$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \arctan (t)$ và $g (t) = \frac{t}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Bước 2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{t}{2}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Bước 2.5

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Bước 2.6

Nhân $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Bước 2.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Bước 2.8

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Bước 3.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Bước 3.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Bước 3.3.5

Cộng $0$ và $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Bước 3.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 3.5.2

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.5.4

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Bước 3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Bước 3.7

Nhân $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Kết hợp $5$ và $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Bước 3.7.2

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$