Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Bước 1.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Bước 1.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2} + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Bước 1.2.2

Đưa $3 x$ ra ngoài $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Bước 1.2.3

Đưa $3 x$ ra ngoài $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = 3 x (x + 2)$ . Sau đó $d u = (6 x + 6) d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = 3 x (x + 2)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Bước 3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x (x + 2)$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.1.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Bước 3.1.4.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.6.1

Nhân $x + 2$ với $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Bước 3.1.4.6.2

Cộng $x$ và $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Bước 3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Bước 3.1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.5.2.1

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Bước 3.1.5.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x + 6$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$