Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x)$

Bước 3

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Bước 4.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Vì $- 8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 8 x$ đối với $x$ là $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8 \cdot 1$

Bước 4.4.3

Nhân $- 8$ với $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Bước 4.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Bước 4.5.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 8$

Bước 4.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Bước 4.5.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8$