Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

Bước 1

Chia $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ cho $t^{2} + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Bước 1.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $4 t^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

Bước 1.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Bước 1.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $4 t^{3} + 0 + 16 t$

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

Bước 1.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

Bước 1.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Bước 1.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- t^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

Bước 1.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

Bước 1.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- t^{2} + 0 - 4$

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

Bước 1.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

Bước 1.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Sắp xếp lại $t^{2}$ và $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

Bước 8.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

Bước 10.2

Rút gọn.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $4$ và $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

Bước 10.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

Bước 10.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Bước 10.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

Bước 10.3.2.2.4

Chia $2 \arctan (\frac{t}{2})$ cho $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

Bước 10.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$