Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.2.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.4

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Bước 2.6

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 \cdot 0}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 - 2 \cdot 0}$

Bước 6.1.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - 2 \cdot 0}$

Bước 6.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{2}{1 - 2 \cdot 0}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Bước 6.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{2}{1}$

Bước 6.3

Chia $2$ cho $1$ .

$2$